Interpolación de términos

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Suma de términos equidistantes

a_i + a_j = a₁ + a_n

a₃ + a_n-2 = a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n

Suma de n términos consecutivos

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Término general de una progresión geométrica

a_n = a₁ · r^n-1

a_n = a_k · r^n-k

Interpolación de términos

Suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de dos términos equidistantes

a_i . a_j = a₁ . a_n

a₃ · a_n-2 = a₂ · a_n-1 = ... = a₁ · a_n

Producto de n términos equidistantes

Ejercicios

El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a ₄ = 10;          a ₆ = 16

 a _n = a _k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3

a₁= a₄ - 3d;

a₁ = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8,    3, -2, -7 ,    -12.

El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a ₁ = − 1;          a ₁₅ = 27;      

a _n = a ₁ + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a₁ + a₄) · 4/2

a₄= a₁ + 3 · 25

360= ( a₁ + a₁ + 3 · 25) · 4/2

a₁ = 105/2 = 52º 30'      a₂ = 77º 30'

a₃ = 102º 30'                a₄ = 127º 30'

El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a₂ = 8 + d;            a₃ = 8 + 2d

(8 + 2d)² = (8 + d)² + 64

d = 8

8, 16, 24.

Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.

Término central x

1º x - d

3º x + d.

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)² + 81 + (9 + d)² = 511 / 2

d = ± 5 / 2

13 / 2, 9, 23/2

23 / 2, 9, 13/2

El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.

a₂= 6;                 a₅= 48;        

 a_n = a_k · r ^n-k

48 = 6 r^5-2 ;          r³ = 8;                r = 2.

a₁= a₂ / r; a₁= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ...

El 1^er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

a ₁ = 3;                 a ₈ = 384;   

                            

384 = 3 · r^8-1 ;       r⁷ = 128;        r⁷ = 2⁷;      r= 2.

S₈ = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

a = 3;        b = 48;        

  

3,     6, 12, 24,    48

Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

a₁= 1       r= 2;         n = 20;        

S= (1 · 2^20-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .

Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.